Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2-2S_n，（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n等于（　　）

• A． 3ⁿ
• B． $\frac{2}{{3}^{n}}$
• C． $\frac{1}{{3}^{n}}$
• D． 3ⁿ-2

Answer 1

分析 a_n=2-2S_n，（n∈N^*），当n=1时，a₁=2-2a₁，解得a₁．当n≥2时，a_n-1=2-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n，化为${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=2-2S_n，（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$．
当n≥2时，a_n-1=2-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n，化为${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
∴${a}_{n}=\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．