Question

7．在△ABC中，已知A+C=2B，且sinAsinC=cos²B，S_△ABC=4$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 由三角形的内角和得出B=$\frac{π}{3}$，根据面积求出ac，使用正弦定理用a，b，c表示出sinA，sinC，列方程解出b．

解答 解：在△ABC中，∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=4$\sqrt{3}$，∴ac=16．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2b}$，sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2b}$．
∵sinAsinC=cos²B=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{3ac}{4{b}^{2}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{12}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∴b=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力．