Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{2}$+sinx，2$\sqrt{2}$-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（-$\frac{3π}{2}$，-π）且f（x）=1，求cos（x+$\frac{5π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的数量积和三角函数公式可得f（x）=4sin（x+$\frac{π}{4}$），可得最大值；
（Ⅱ）由题意可得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，由x范围和同角三角函数基本关系可得cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，整体代入cos（x+$\frac{5π}{12}$）=cos[（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），计算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{2}$+sinx，2$\sqrt{2}$-cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=cosx（2$\sqrt{2}$+sinx）+sinx（2$\sqrt{2}$-cosx）
=2$\sqrt{2}$（sinx+cosx）=4sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最大值为4；
（Ⅱ）∵f（x）=4sin（x+$\frac{π}{4}$）=1，∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
∵x∈（-$\frac{3π}{2}$，-π），∴x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{3π}{4}$），
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（x+$\frac{5π}{12}$）=cos[（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=-$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的运算和和差角的三角函数，属中档题．