Question

1．已知f（x）=$\frac{3x}{x+1}$，数列满足a_n+1=f（a_n），a₁=$\frac{1}{2}$，则a_n=$\frac{2×{3}^{n-1}}{3+{3}^{n-1}}$．．

Answer 1

分析 把数列递推式变形，可得数列数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a_n．

解答 解：∵f（x）=$\frac{3x}{x+1}$，数列满足a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{3{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$），
∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴a_n=$\frac{2×{3}^{n-1}}{3+{3}^{n-1}}$，n∈N⁺．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．