Question

4．△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{DF}$的最小值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{17}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{4}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设E（x，0），求出$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}$的坐标，则$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}$可表示为x的函数，利用函数的性质得出最小值．

解答 解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（0，4），B（3，0），C（0，0），D（$\frac{3}{2}$，2）．设E（x，0），则F（0，$\sqrt{1-{x}^{2}}$）.0≤x≤1．
∴$\overrightarrow{DE}$=（x-$\frac{3}{2}$，-2），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{1-{x}^{2}}-2$）．
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}x$+4-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{25}{4}$-$\frac{3x}{2}$-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
令f（x）=$\frac{25}{4}$-$\frac{3x}{2}$-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，则f′（x）=-$\frac{3}{2}$+$\frac{2x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$．
令f′（x）=0得x=$\frac{3}{5}$．
当0≤x$＜\frac{3}{5}$时，f′（x）＜0，当$\frac{3}{5}$＜x＜1时，f′（x）＞0．
∴当x=$\frac{3}{5}$时，f（x）取得最小值f（$\frac{3}{5}$）=$\frac{15}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题．