Question

14．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在实数K，使得T_n≥K恒成立．若有，求出K的最大值，若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，可得4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=4（2a₁+d），a₂=a₁+d=2a₁+1，联立解出即可得出．
（2）由数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$，解得b₁；当n≥2时，可得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出T_n．
（3）T_n≥K，即3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$≥k．由于数列$\{\frac{2n+3}{{2}^{n}}\}$单调递减，即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=4（2a₁+d），a₂=a₁+d=2a₁+1，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{1}{2}$；
当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
可得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$（n=1时也成立）．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
（3）T_n≥K，即3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$≥k．
由于数列$\{\frac{2n+3}{{2}^{n}}\}$单调递减，
因此存在实数K=$3-\frac{2+3}{2}$=$\frac{1}{2}$，使得T_n≥K恒成立．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“错位相减法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．