Question

6．已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）a_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）化简可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，从而可得b_n+1-b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，从而利用累加法求其通项公式；
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$可得a_n=n（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）．

解答 解：（1）∵a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）a_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{n}$a_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，b₁=1，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴b₂-b₁=$\frac{1}{2}$，
b₃-b₂=$\frac{1}{4}$，
…，
b_n-b_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
累加可得，
b_n-b₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即b_n-b₁=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=n（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）．

点评 本题考查了构造法的应用及累加法的应用，属于中档题．