Question

已知抛物线y²=4x，过焦点F的直线交抛物线于M，N两点，以下命题：
①若直线MN的倾斜角为

π

4

，则|MN|=10；
②

OM

•

ON

=5；
③过M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M₁，N₁，则M₁F⊥N₁F；
④连接M0，N0并延长分别交抛物线的准线于P，0两点，则以PQ为直径的圆过焦点F．
其中真命题的序号为

③④

．

Answer 1

分析：①设直线MN的方程为y=x-1，代入y²=4x，可得|MN|=8；
②斜率不存在时，结论就不成立；
③设直线MN的方程为x=my+1代入y²=4x，验证

M1F

•

N1F

=0，即可得到结论；
④验证

FP

•

FQ

=(-2，-

y1

x1

)•(-2，-

y2

x2

)=0，可得结论．

解答：解：①设直线MN的方程为y=x-1，代入y²=4x得x²-6x+1=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|MN|=

2

|x1-x2|=

2

•

36-4

=8，即①不正确；
②斜率不存在时，M（1，2），N（1，-2），

OM

•

ON

=1-4=-3，∴②不正确；
③设直线MN的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
将x=my+1代入y²=4x（p＞0）消去x可得y²-4my-4=0    
从而有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，x₁x₂=1
∵

M1F

=（2，-y₁），

N1F

=（2，-y₂），
∴

M1F

•

N1F

=（2，-y₁）•（2，-y₂）=0，故有M₁F⊥N₁F，即③正确；
④直线MO的方程为y=

y1

x1

x，x=-1时，y=-

y1

x1

，∴P(-1，-

y1

x1

)
同理Q(-1，-

y2

x2

)
∴

FP

=(-2，-

y1

x1

)，

FQ

=（-2，-

y2

x2

）
∴

FP

•

FQ

=(-2，-

y1

x1

)•(-2，-

y2

x2

)=0，
∴以PQ为直径的圆过焦点F，即④正确
故答案为：③④．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．