Question

12．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$在（-1，+∞）是增函数．
（1）当b=1时，求a的取值范围．
（2）若g（x）=f（x）-1008没有零点，f（1）=0，求f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）利用分离常数法，通过函数的单调性求解即可．
（2）求出函数的对称点的坐标，推出关系式，然后求解a，利用f（x）+f（-2-x）=2a求解即可．

解答 解：（1）b=1时    $f（x）=\frac{ax+1}{x+1}=a+\frac{1-a}{x+1}$…（3分）
∵f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
∴1-a＜0即a＞1．
所求a的范围为（1，+∞）．…（6分）
（2）$f（x）=\frac{ax+b}{x+1}=a+\frac{b-a}{x+1}$，∴f（x）关于点（-1，a）对称．
即f（x）+f（-2-x）=2a…（8分）
∵g（x）=f（x）-1008没有零点，
∴a=1008…（10分）
∵f（1）=0又f（1）+f（-3）=2×1008=2016
∴f（-3）=2016…（12分）

点评 本题考查函数的零点个数，函数的单调性，对称性的应用，考查计算能力．另：本题也可以先求a、b再求f（-3）．