Question

17．己知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是F₂（2，0），离心率e=2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据焦点坐标及离心率求出待定系数a，b，即得双曲线C的方程；
（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得直线的方程．

解答 解：（1）由题设得c=2，即a²+b²=4，
离心率e=$\frac{c}{a}$=2，可得a=1，b=$\sqrt{3}$，
所以双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．①
点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$②
将①式代入②式，整理得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0．
此方程有两个不等实根，于是3-k²≠0，且△=（-2km）²+4（3-k²）（m²+3）＞0．
整理得m²+3-k²＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x₀，y₀）
满足x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{km}{3-{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3m}{3-{k}^{2}}$．
从而线段MN的垂直平分线方程为y-$\frac{3m}{3-{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{km}{3-{k}^{2}}$）．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为（$\frac{4km}{3-{k}^{2}}$，0），（0，$\frac{4m}{3-{k}^{2}}$）．
由题设可得 $\frac{1}{2}$|$\frac{4km}{3-{k}^{2}}$|•|$\frac{4m}{3-{k}^{2}}$|=4．
整理得m²=$\frac{（3-{k}^{2}）^{2}}{2|k|}$=2，
解得m=±$\sqrt{2}$，满足③成立．
可得直线方程为y=x±$\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．