Question

7．已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为12x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）若方程f（x）-m=0有三个解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数几何意义，导数的几何意义、切点坐标的应用，得到关于b，c的方程组，解得即可．
（2）利用导数求出函数的单调区间，可得函数的极值，利用方程f（x）-m=0有三个解，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²+2bx+c，
∴k=f'（1）=3+2b+c=-12①，
又∵f（1）=-11，∴-，11=1+b+c②，
由①②解得：b=-3，c=-9；
（2）f'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在（-∞，-1）单调递增，在（-1，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增．
∴f（x）得极大值f（-1）=5，极小值为f（3）=-27，
∵方程f（x）-m=0有三个解，
∴-27＜m＜5．

点评 本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的单调性，待定系数法求解析式，属于中档题．