Question

17．已知函数f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$．
（1）证明：对任意的b∈R，函数f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$的图象与直线y=$\frac{x}{2}$+b最多有一个交点；
（2）设函数g（x）=log₄（a-2^x），若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象至少有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题等价于log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=$\frac{x}{2}$+b解的讨论，通过讨论b的范围，证明即可；
（2）等价于方程log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=log₄（a-2^x）至少有一个解，即（2^x+1）²=2^x（a-2^x），通过讨论判别式△，求出a的范围即可．

解答 （1）证明：原问题等价于log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=$\frac{x}{2}$+b解的讨论．
因为2^x+1=2^x+b，即2^x（2^b-1）=1．--（2分）
当b≤0时，方程无解，即两图象无交点；--（3分）
当b＞0时，方程有一解，即两图象有一个交点，得证．--（4分）
（2）函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象至少有一个交点，
等价于方程log₂（2^x+1）-$\frac{x}{2}$=log₄（a-2^x）至少有一个解，
即（2^x+1）²=2^x（a-2^x）．--（6分）
设u=2^x＞0，即方程2u²+（2-a）u+1=0至少有一个正解．--（8分）
①当△=（2-a）²-8=0时，即a=2±2$\sqrt{2}$，
∵a＞2^x＞0，
∴a=2-2$\sqrt{2}$不符合题意，
当a=2+2$\sqrt{2}$时，方程有一个正解，符合题意．
②当$\left\{\begin{array}{l}{△{=（2-a）}^{2}-8＞0}\\{a-2＞0}\end{array}\right.$时，即a＞2+2$\sqrt{2}$，此时方程有两个不同的正解．
综上所述：实数a的取值范围是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的交点问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．