Question

15．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1）．且当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1，如果函数g（x）=f（x）-a|x|恰有8个零点，则实数a的值为8-2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案．

解答 解：由f（x+1）=f（x-1），则f（x）=f（x-2），故函数f（x）为周期为2的周期函数．
∵函数g（x）=f（x）-a|x|恰有8个零点，
∴f（x）-a|x|=0在（-∞，0）上有四个解，
即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（-∞，0）上有4个交点，
如图所示：
又当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1，
∴当直线y=-ax与y=-（x+4）²+1相切时，即可在（-∞，0）上有4个交点，
∴x²+（8-a）x+15=0，∴△=（8-a）²-60=0．
∵a＞0，∴a=8-2$\sqrt{15}$．
故答案为：8-2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．