Question

4．已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则$\frac{{a}^{2}}{2+b}$的取值范围$（0，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可．

解答 解：函数的导数为y′=$\frac{1}{x+b}$=1，x=1-b，切点为（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），
则$\frac{{a}^{2}}{2+b}$=$\frac{{a}^{2}}{3-a}$，
令g（a）=$\frac{{a}^{2}}{3-a}$，则g′（a）=$\frac{a（6-a）}{（3-a）^{2}}$＞0，
则函数g（a）为增函数，
∴$\frac{{a}^{2}}{2+b}$∈$（0，\frac{1}{2}）$．
故答案为$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．