Question

14．过抛物线y²=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=12．

Answer 1

分析 由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2×4，则丨AA₁丨+丨BB₁丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8+4=12，则丨AA₁丨+丨BB₁丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，即可求得|AB|．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（4，y₀），过A，B，M做准线的垂直，垂足分别为A₁，B₁及M₁，
由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2×4=8，
∴丨AA₁丨+丨BB₁丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8+4=12
∴丨AA₁丨+丨BB₁丨=12
由抛物线的性质可知：丨AA₁丨+丨BB₁丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，
∴丨AB丨=12，
故答案为：12．

点评 本题考查抛物线的性质，考查中点坐标公式，直线与抛物线的关系，考查数形结合思想，属于中档题．