Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．
（1）求B﹣A的值；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得a=btanA，

∴由正弦定理得 ，则sinB=cosA，

∵B为钝角，∴B= ，

∴B﹣A=

（2）解：由（1）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+ +A）= ﹣2A＞0，

∴A∈（0， ），

∴sinA+sinC=sinA+sin（ ﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，

∵A∈（0， ），∴0＜sinA＜ ，

∴由二次函数可知， ＜﹣2（sinA﹣ ）2+ ≤ ，

∴sinA+sinC的取值范围为（ ， ]

【解析】（1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出B﹣A的值；（2）由（1）求出C和A的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用换元法和二次函数的性质求出式子的范围．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的余弦公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的余弦公式：才能正确解答此题．