Question

【题目】函数y=f（x）图像上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）处的切线的斜率分别是kA ， kB ， 规定φ（A，B）= 叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： （1.）函数y=x3﹣x2+1图像上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞ ；
（2.）存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
（3.）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
（4.）设曲线y=ex上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；
以上正确命题的序号为（写出所有正确的）

Answer 1

【答案】（2）（3）
【解析】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则 ， ，
y1=1，y2=5，则 ，
φ（A，B）= ，（1）错误；
对于（2），常数函数y=1满足图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；
对于（3），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），y′=2x，
则kA﹣kB=2x1﹣2x2 ， =
= ．
∴φ（A，B）= = ，（3）正确；
对于（4），由y=ex ， 得y′=ex ， φ（A，B）= = ．
tφ（A，B）＜1恒成立，即 恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．
所以答案是：（2）（3）．
【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．