【题目】=(sinx,cosx),
=(sinx,sinx),
=(﹣1,0)
(1)若x= ,求
与
的夹角θ;
(2)若x∈[﹣ ,
],f(x)=λ
的最大值为
,求λ.
【答案】
(1)
解:当x= 时,
=(
,
),
=(﹣1,0),
∴ 与
的夹角θ满足cosθ=
=-
,
∴ 与
的夹角θ=
;
(2)
解:f(x)=λ
=λ(sin2x+sinxcosx)
=λ( +
sin2x)=
λsin(2x﹣
)+
λ,
∵x∈[﹣ ,
],∴2x﹣
∈[﹣π,
],
∴sin(2x﹣ )∈[﹣1,
],
当λ>0时,可得 λ /span>
+
λ=
,解得λ=
;
当λ<0时,可得 λ(﹣1)+
λ=
,解得λ=﹣
﹣1
【解析】(1)当x= 时可得
=(
,
),
=(﹣1,0),由夹角公式可得;(2)可得f(x)=λ
=
λsin(2x﹣
)+
λ,由x的范围易得sin(2x﹣
)∈[﹣1,
],分类讨论可得.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数量积表示两个向量的夹角(设、
都是非零向量,
,
,
是
与
的夹角,则
),还要掌握两角和与差的正弦公式(两角和与差的正弦公式:
)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,直线
过椭圆
的右焦点
,且交椭圆
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,连结
,过点
作垂直于
轴的直线
,设直线
与直线
交于点
,试探索当
变化时,是否存在一条定直线
,使得点
恒在直线
上?若存在,请求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】函数y=f(x)图像上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)处的切线的斜率分别是kA , kB , 规定φ(A,B)= 叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题: (1.)函数y=x3﹣x2+1图像上两点A、B的横坐标分别为1,2,则φ(A,B)>
;
(2.)存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
(3.)设点A、B是抛物线,y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
(4.)设曲线y=ex上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立,则实数t的取值范围是(﹣∞,1);
以上正确命题的序号为(写出所有正确的)
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【题目】在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为: (α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:ρ=cosθ. (Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.
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【题目】射击测试有两种方案,方案1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为,命中一次得3分;命中乙靶的概率为
,命中一次得2分,若没有命中则得0分,用随机变量
表示该射手一次测试累计得分,如果
的值不低于3分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶3次,每次射击的结果相互独立。
(1)如果该射手选择方案1,求其测试结束后所得分的分布列和数学期望E
;
(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。
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【题目】某校为了了解学生对周末家庭作业量的态度,拟采用分层抽样的方法分别从高一、高二、高三的高中生中随机抽取一个容量为200的样本进行调查,已知从700名高一、高二学生中共抽取了140名学生,那么该校有高三学生名.
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【题目】已知点A(2sinx,﹣cosx)、B( cosx,2cosx),记f(x)=
.
(1)若x0是函数y=f(x)﹣1的零点,求tanx0的值;
(2)求f(x)在区间[ ,
]上的最值及对应的x的值.
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【题目】已知某单位有50名职工,现要从中抽取 10名职工,将全体职工随机按1~50编号,并按编号顺序平均分成10组,按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.
(Ⅰ)若第5组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工的号码;
(Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,求该样本的平均数、中位数和方差;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(73公斤)的职工,求体重为81公斤的职工被抽取到的概率.
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