Question

（本小题满分15分）如图，已知椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的长轴AB长为4，离心率e＝，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线于点M，N为的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：Q点在以为直径的圆上；
（3）试判断直线QN与圆的位置关系．

Answer 1

(1)
(2)相切

解：（1）由题设可得，解得，∴．   （2分）
∴椭圆的方程为．                                 （4分）
（2）设，则．∵，∴．
∴．                                    （7分）
∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上． （9分）
（3）设，则，且．又，
∴直线的方程为．令，得．又，为的中点，
∴．∴，．           （12分）
∴
．∴．                     （14分）
∴直线与圆相切．                                      （15分）