Question

15．若x＞0，y＞0，且x+2y=1，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的取值范围是[3+$2\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+2y=1，
那么：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=1+$\frac{x}{y}+2+\frac{2y}{x}$≥3+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{2y}{x}}$=3+$2\sqrt{2}$．
当且仅当x=$\sqrt{2}$y，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$，y=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$时取等号．
所以：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的取值范围是[3+$2\sqrt{2}$，+∞）
故答案为：[3+$2\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．