Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{x}{2}$，-1），当$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$，y）当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，有函数y=f（x）
（Ⅰ）若f（x）=$\frac{5}{6}$，求sin（2x+$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足cosC=$\frac{2b-c}{2a}$，求函数f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用向量垂直与数量积的关系、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用倍角公式即可得出．
（II）由$cosC=\frac{2b-c}{2a}$，得2acosC+c=2b．根据正弦定理可得：cosA．再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
得$y=sin\frac{x}{2}（{\sqrt{3}cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}=sin（{x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$．
即$f（x）=sin（{x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，∵$f（x）=\frac{5}{6}$，∴$sin（{x-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$．
∴$sin（{2x+\frac{π}{6}}）$=$sin[{2（{x-\frac{π}{6}}）+\frac{π}{2}}]=cos2（{x-\frac{π}{6}}）=1-2{[{sin（{x-\frac{π}{6}}）}]^2}$=$1-2{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{7}{9}$．
（Ⅱ）由$cosC=\frac{2b-c}{2a}$，得2acosC+c=2b．根据正弦定理可得：
$\begin{array}{l}2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin（A+C）\\ 2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC\end{array}$
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∴在△ABC中∠$A=\frac{π}{3}$．
∴$0＜B＜\frac{2π}{3}$，$-\frac{π}{6}＜B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$∴$-\frac{1}{2}＜sin（{B-\frac{π}{6}}）＜1$，$0＜f（B）＜\frac{3}{2}$．
故函数f（B）的取值范围为$（{0，\frac{3}{2}}）$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、倍角公式、和差公式、正弦定理、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．