Question

14．（1）求函数$y={x^4}-\frac{1}{3}{x^3}$的极值．
（2）求由直线y=x-2和曲线y=-x²所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解极值．
（2）利用定积分的运算法则化简求解即可．

解答 （1）解：y′=4x³-x²．
令y′=0，即4x³-x²=0，解得x₁=x₂=0，${x_3}=\frac{1}{4}$．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{1}{4}）$	$\frac{1}{4}$	$（\frac{1}{4}，+∞）$
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	↘	/	↘	极小值	↗

因此，当$x=\frac{1}{4}$时，f（x）有极小值，且$f（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{768}$．
（2）解：联立$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-{x^2}\end{array}\right.$，得x₁=-2，x₂=1．
所以，$A=\int_{-2}^1{（x-2}）dx-\int_{-2}^1{（-{x^2}）dx}=（\frac{x^2}{2}-2x）|_{-2}^1+\frac{x^3}{3}|_{-2}^1=-\frac{9}{2}$，故所求面积$S=\frac{9}{2}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值，以及单调性的判断，定积分的应用，考查计算能力．