Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其右焦点F到直线x-y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作倾斜角为45°的直线交C于M，N两点，求三角形OMN的面积（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点到直线的距离公式$\frac{丨c+\sqrt{3}丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，求得c，根据离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由椭圆的性质即可求得b的值，求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意可知求得直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知y₁+y₂及y₁y₂，由弦长公式求得|y₁-y₂|，根据三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，即可求得三角形OMN的面积．

解答 解：（Ⅰ）根据题意可知：由点到直线的距离公式可知：$\frac{丨c+\sqrt{3}丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$，即c=$\sqrt{3}$，
∵由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a=2，
由b²=a²-c²，
∴b=1，
椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），过椭圆的右焦点F（$\sqrt{3}$，0），倾斜角为45°的直线方程为y=x-$\sqrt{3}$，
即x=y+$\sqrt{3}$，代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$：得5y²+2$\sqrt{3}$y-1=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，y₁y₂=-$\frac{1}{5}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{5}）-4×（-\frac{1}{5}）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4\sqrt{2}}{5}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴三角形OMN的面积$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及三角形面积公式的综合运用，考查计算能力，属于中档题．