Question

4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化的方法，写出圆C的直角坐标方程；
（2）设P（3+$\frac{1}{2}t$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），利用距离公式，可得结论．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，可得直角坐标方程为x²+y²=2$\sqrt{3}y$，即x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3；
（2）设P（3+$\frac{1}{2}t$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
∵C（0，$\sqrt{3}$），
∴|PC|=$\sqrt{（3+\frac{1}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+12}$，
∴t=0时，P到圆心C的距离最小，P的直角坐标是（3，0）．

点评 本题考查极坐标与直角坐标互化，考查参数方程的运用，属于中档题．