Question

（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间是，的单调递减区间是．
（Ⅱ）． （Ⅲ）见解析。

解析试题分析：（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；
（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．
（3），
，利用指数不等式放缩的都证明。
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．（6分）（3分）
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．（8分）（5分）
由得．
①当时，．此时在上单调递增．
故，符合题意． （10分）（7分）
②当时，．当变化时的变化情况如下表

	单调递减	极小值	单调递增

 
由此可得，在上，．
依题意，，又．（13分）（9分）
综合①，②得，实数的取值范围是．（14分）（10分）
（Ⅲ）