Question

7．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$是定义在（-1，1）上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并证明；
（3）若f（x-1）+f（x）＜0，求x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根据题意，f（x）为奇函数且在原点有定义，从而有f（0）=0，这样便可解出a的值；
（2）根据反比例函数、指数函数及复合函数的单调性便可判断f（x）在（-1，1）上为增函数，根据增函数的定义：设任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性及值域便可得出f（x₁）＜f（x₂），这样便得出f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）根f（x）为奇函数便可由f（x-1）+f（x）＜0得到f（x-1）＜f（-x），再由f（x）在定义域（-1，1）上为增函数便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜-x＜1}\\{x-1＜-x}\end{array}\right.$，从而解该不等式组即可得出x的取值范围．

解答 解：（1）由题意得$f（0）=a-\frac{1}{{{2^0}+1}}=0，解得a=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，函数f （x）在区间（-1，1）上为增函数；
证明如下：
设-1＜x₁＜x₂＜1，则：
f （x₁）-f （x₂）
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）$
=$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）f（x-1）+f（x）＜0?f（x-1）＜-f（x）
因为f（x）为奇函数，所以-f（x）=f（-x）；
则不等式可变形为f（x-1）＜f（-x），因为f（x）在（-1，1）上为增函数；
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜x＜1}\\{x-1＜-x}\end{array}\right.$；
解得$0＜x＜\frac{1}{2}$；
∴x的取值集合为$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，满足f（0）=0，反比例函数和指数函数的单调性，以及复合函数单调性的判断，增函数的定义，以及利用增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程．