Question

已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．

(1)求圆C的方程；

(2)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

 

Answer 1

（1）x2＋y2＝4 （2）7

【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，

所以|AC|＝|BC|＝r，即＝＝r，解得a＝0，r＝2.

故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.

因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d12＋d2＝1.

又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，

所以S＝|PQ|·|MN|，

即S＝×2××2×＝

2＝2≤

2＝2＝7，

当且仅当d1＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.