Question

12．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，构造数列a_n=f（n）（n∈N₊），写出数列{a_n}的前5项，并判断该数列的单调性．

Answer 1

分析 由题意可得：a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，分别令n=1，2，3，4，5即可得出．由以上可猜想数列{a_n}单调递减．再利用导数研究函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x≥1）的单调性即可得出．

解答 解：由题意可得：a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{2}{5}$，a₃=$\frac{3}{10}$，a₄=$\frac{4}{17}$，a₅=$\frac{5}{26}$．
由以上可猜想数列{a_n}单调递减．
下面给出证明：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x×2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（x+1）（x-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
当x≥1时，f′（x）≤0，因此函数f（x）在x≥1时单调递增．
∴数列{a_n}单调递增．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、数列的单调性、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．