Question

4．已知函数f（x）=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-5（x∈[-2014，2014]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）

• A． -5
• B． -10
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+5=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），判断g（x）为奇函数，当x∈[-2014，2014]时，设g（x）的最大值为g（a），则最小值为g（-a）=-g（a），即有M=g（a）-5，m=g（-a）-5，即可得到所求．

解答 解：函数f（x）=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-5，
可令g（x）=f（x）+5=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），
g（-x）=-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
=-x+ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$=-（x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x））
=-g（x），
则g（x）为奇函数，
当x∈[-2014，2014]时，设g（x）的最大值为g（a），
则最小值为g（-a）=-g（a），
即有f（x）的最大值为M=g（a）-5，
f（x）的最小值为m=g（-a）-5=-g（a）-5，
即有M+m=-10．
故选B．

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，考查运算能力，属于中档题．