Question

17．已知：$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx），x∈R，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的周期、值域、单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算得到f（x）的表达式，再由辅助角公化积得答案；
（2）由周期公式求得周期，由函数解析式直接得到函数的值域，再由相位在正弦函数的单调区间内列式求得x的范围得到函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}sinx-cosx$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx）$=$2sin（x-\frac{π}{6}）$；
（2）函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的周期T=2π．
值域为[-2，2]．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{2π}{3}+2kπ≤x≤\frac{5π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的增区间为[$-\frac{π}{3}+2kπ，\frac{2π}{3}+2kπ$]，k∈Z；
减区间为[$\frac{2π}{3}+2kπ，\frac{5π}{3}+2kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，着重考查复合三角函数单调性的求法，是中档题．