Question

9．若cosx-cosy=$\frac{1}{2}$，sinx-siny=$\frac{1}{3}$，则sin（x+y）=-$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 解法一：对2个条件关系式分别进行和差化积，再相除可得tan$\frac{x+y}{2}$的值，再利用万能公式可得答案；
解法二：由$\left\{\begin{array}{l}{cosx-cosy=\frac{1}{2}}\\{sinx-siny=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cos[（x+y）-y]-cos[（x+y）-x]=\frac{1}{2}①}\\{sin[（x+y）-y]-sin[（x+y）-x]=\frac{1}{3}②}\end{array}\right.$；
再分别化简①、②，得出关于sin（x+y）与sin（x+y）的二元一次方程组，再求sin（x+y）的值．

解答 解法一：由cosx-cosy=$\frac{1}{2}$，得-2sin$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{2}$①，
由sinx-siny=$\frac{1}{3}$，得2cos$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{3}$②；
$\frac{①}{②}$得，-tan$\frac{x+y}{2}$=$\frac{3}{2}$，即tan$\frac{x+y}{2}$=-$\frac{3}{2}$；
∴sin（x+y）=$\frac{2tan\frac{x+y}{2}}{1{+tan}^{2}\frac{x+y}{2}}$=$\frac{2×（-\frac{3}{2}）}{1{+（-\frac{3}{2}）}^{2}}$=-$\frac{12}{13}$．
解法二：由$\left\{\begin{array}{l}{cosx-cosy=\frac{1}{2}}\\{sinx-siny=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{cos[（x+y）-y]-cos[（x+y）-x]=\frac{1}{2}①}\\{sin[（x+y）-y]-sin[（x+y）-x]=\frac{1}{3}②}\end{array}\right.$；
由①得，[cos（x+y）]cosy+sin（x+y）siny]-[cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx]=$\frac{1}{2}$，
即cos（x+y）（cosy-cosx）+sin（x+y）（siny-sinx）=$\frac{1}{2}$，
整理得，-$\frac{cos（x+y）}{2}$-$\frac{sin（x+y）}{3}$=$\frac{1}{2}$，
即2sin（x+y）+3cos（x+y）=-3③；
由②得，[sin（x+y）cosy-cos（x+y）siny]-[sin（x+y）cosx-cos（x+y）sinx]=$\frac{1}{3}$，
即sin（x+y）（cosy-cosx）+cos（x+y）（sinx-siny）=$\frac{1}{3}$，
整理得，-$\frac{sin（x+y）}{2}$+$\frac{cos（x+y）}{3}$=$\frac{1}{3}$，
即3sin（x+y）-2cos（x+y）=-2④；
由③④联立，消去cos（x+y），得sin（x+y）=-$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与应用问题，也考查了构造法与解方程组的问题，是基础题目．