Question

14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=$\frac{5}{4}$，OD′=2$\sqrt{2}$，求五棱锥D′-ABCFE体积．

Answer 1

分析 （1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′-ABCFE的高，即可得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，
则D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=$\frac{5}{4}$，AD=AB=5，
∴DE=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∵EF∥AC，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{EH}{AO}$=$\frac{DH}{OD}$=$\frac{\frac{15}{4}}{5}$=$\frac{3}{4}$，
∴EH=$\frac{9}{4}$，EF=2EH=$\frac{9}{2}$，DH=3，OH=4-3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2$\sqrt{2}$，
∴满足HD′²=OD′²+OH²，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
又OD′⊥AC，AC∩OH=O，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′-ABCFE的高．
底面五边形的面积S=$\frac{1}{2}×AC•OB$+$\frac{（EF+AC）•OH}{2}$=$\frac{1}{2}×6×4$+$\frac{（\frac{9}{2}+6）×1}{2}$=12+$\frac{21}{4}$=$\frac{69}{4}$，
则五棱锥D′-ABCFE体积V=$\frac{1}{3}$S•OD′=$\frac{1}{3}$×$\frac{69}{4}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{23\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′-ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．