Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{3}{4}$}

Answer 1

分析 利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．

解答 解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{{0}^{2}+（4a-3）•0+3a≥lo{g}_{a}（0+1）+1}\end{array}\right.$；
解得，$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2-x有且仅有一个解，
故在（-∞，0）上，|f（x）|=2-x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞$\frac{2}{3}$时，联立|x²+（4a-3）x+3a|=2-x，
则△=（4a-2）²-4（3a-2）=0，
解得a=$\frac{3}{4}$或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}，
故选：C．

点评 本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．