Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意建立如图的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量的夹角求出要求的两条直线的夹角；
（2）利用上一问写出相应的向量的坐标，利用向量的夹角求出二面角的大小．
解答：解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），
B₁（0，4，2），，．，
故AA₁与棱BC所成的角是．
（2）设，
则P（2λ，4-2λ，2）．
于是（舍去），
则P为棱B₁C₁的中点，其坐标为P（1，3，2）．
设平面P-AB-A₁的法向量为=（x，y，z），
则⇒⇒
故=（-2，0，1）．
而平面ABA₁的法向量是=（1，0，0），
则，
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是．
点评：此题重点考查了利用图形建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的夹角求出线线的夹角及二面角的大小．