Question

7．设双曲线C：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$，F₁，F₂为其左右两个焦点．
（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}$的取值范围；
（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为$-\frac{1}{9}$，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），$x≥\sqrt{2}$，左焦点${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，通过$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}=（x，y）•（x+\sqrt{5}，y）$利用二次函数的性质求出对称轴$x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}≤\sqrt{2}$，求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}$的取值范围．
（2）写出P点轨迹为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，利用$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{5}$，|PF₁|+|PF₂|=2a，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可．

解答 解：（1）设M（x，y），$x≥\sqrt{2}$，左焦点${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}=（x，y）•（x+\sqrt{5}，y）$=${x^2}+\sqrt{5}x+{y^2}={x^2}+\sqrt{5}x+\frac{{3{x^2}}}{2}-3$…（4分）
=$\frac{5}{2}{x^2}+\sqrt{5}x-3$（$x≥\sqrt{2}$）
对称轴$x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}≤\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}∈[{2+\sqrt{10}，+∞}）$…（3分）
（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{5}$，|PF₁|+|PF₂|=2a$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}+{{|{P{F_2}}|}^2}-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}=\frac{{4{a^2}-2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}$=$\frac{{4{a^2}-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}-1$…（4分）
由基本不等式得$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|≥2\sqrt{|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}$，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时等号成立$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{a^2}$$⇒cos∠{F_1}P{F_2}≥\frac{{4{a^2}-20}}{{2{a^2}}}-1=-\frac{1}{9}⇒{a^2}=9$，b²=4
所求动点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$…（3分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．