Question

6．已知抛物线y²=8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于点A，B，点M为AB的中点，过点M作准线的垂线，交抛物线于点P，若|FP|=$\frac{5}{2}$，则|AB|=（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 求出抛物线焦点为F（2，0），准线为l：x=-2．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-2），由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出：x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，由此算出P的坐标为P（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），根据|FP|=$\frac{5}{2}$，利用点到两点间的距离公式解出k²=4，从而算出x₁+x₂=6，最后根据抛物线的定义，可得弦长|AB|的值．

解答 解：∵抛物线方程为y²=8x，
∴2p=8，p=4，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线为l：x=-2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$消去y，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，
∴设P的坐标为（x₀，y₀），可得y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=k•（4+$\frac{8}{{k}^{2}}$）-4k=$\frac{8}{k}$，
得到y₀=$\frac{1}{2}$$•\frac{8}{k}$=$\frac{4}{k}$，所以x₀=$\frac{1}{8}$y₀²=$\frac{2}{{k}^{2}}$，可得P（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$）．
∵|FP|=$\frac{5}{2}$，∴$\sqrt{（2-\frac{2}{{k}^{2}}）^{2}+\frac{16}{{k}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，解之得k²=4，
因此x₁+x₂=4+$\frac{8}{4}$=6，
根据抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p=6+4=10．
故选B．

点评 本题给出抛物线满足的条件，求抛物线经过焦点的弦AB的长．着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质的知识，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．