Question

1．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，有|FA|=|FD|，又直线l₁∥l，且l₁与C有唯一公共点E．
（1）证明：直线AE过x轴上一定点，并求出定点的坐标；
（2）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C：y²=2px（p＞0）可得焦点F$（\frac{p}{2}，0）$，设A（x₀，y₀）（x₀，y₀≠0），D（x_D，0）（x_D＞0），由于|FA|=|FD|，可得$|{x}_{D}-\frac{p}{2}|={x}_{0}+\frac{p}{2}$，由x_D＞0，可得D（x₀+p，0）．直线AB的斜率为k_AB=$-\frac{{y}_{0}}{p}$．由于直线l₁∥l，可设直线l₁的方程为：$y=-\frac{{y}_{0}}{p}x+m$，与抛物线方程联立可化为$\frac{{y}_{0}}{2{p}^{2}}{y}^{2}+y-m=0$，由△=0，可得m=-$\frac{{p}^{2}}{2{y}_{0}}$．得到y_E=$-\frac{{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x_E=$\frac{{p}^{3}}{2{y}_{0}^{2}}$，利用斜率计算公式可得k_AE=k_AF，即可得出．
（II）由（I）可知：直线AE过焦点F$（\frac{p}{2}，0）$．可得|AE|=|AF|+|FE|=${x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p$，设直线AE的方程为x=ty+$\frac{p}{2}$，可得t=$\frac{{x}_{0}-\frac{p}{2}}{{y}_{0}}$，设B（x₁，y₁），直线AB的方程为：$y-{y}_{0}=-\frac{{y}_{0}}{p}（x-{x}_{0}）$，代入抛物线方程可得：${y}_{1}=-{y}_{0}-\frac{2{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x₁=${x}_{0}+2p+\frac{{p}^{2}}{{x}_{0}}$，再利用点到直线的距离公式可得S_△ABE=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\sqrt{2p}$$（{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p）^{\frac{3}{2}}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 （1）证明：由抛物线C：y²=2px（p＞0）可得焦点F$（\frac{p}{2}，0）$，
设A（x₀，y₀）（x₀，y₀≠0），D（x_D，0）（x_D＞0），
∵|FA|=|FD|，
∴$|{x}_{D}-\frac{p}{2}|={x}_{0}+\frac{p}{2}$，由x_D＞0，可得x_D=x₀+p，因此D（x₀+p，0），
∴直线AB的斜率为k_AB=$-\frac{{y}_{0}}{p}$．
∵直线l₁∥l，
∴可设直线l₁的方程为：$y=-\frac{{y}_{0}}{p}x+m$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{y}_{0}}{p}x+m}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为$\frac{{y}_{0}}{2{p}^{2}}{y}^{2}+y-m=0$，
由△=0，可得m=-$\frac{{p}^{2}}{2{y}_{0}}$．
则y_E=$-\frac{{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x_E=$\frac{{p}^{3}}{2{y}_{0}^{2}}$，
当${y}_{0}^{2}≠{p}^{2}$时，k_AE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{2p{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\frac{p}{2}}$=k_AF，
因此直线AE过焦点F$（\frac{p}{2}，0）$．
（II）由（I）可知：直线AE过焦点F$（\frac{p}{2}，0）$．
∴|AE|=|AF|+|FE|=${x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p$，
设直线AE的方程为x=ty+$\frac{p}{2}$，∵点A在直线AE上，
∴t=$\frac{{x}_{0}-\frac{p}{2}}{{y}_{0}}$，
设B（x₁，y₁），直线AB的方程为：$y-{y}_{0}=-\frac{{y}_{0}}{p}（x-{x}_{0}）$，
由y₀≠0，可得x=$-\frac{p}{{y}_{0}}y+p+{x}_{0}$，代入抛物线方程可得：${y}_{1}=-{y}_{0}-\frac{2{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x₁=${x}_{0}+2p+\frac{{p}^{2}}{{x}_{0}}$，
故点B到直线AE的距离d=$\frac{|\frac{{p}^{2}}{{x}_{0}}+{x}_{0}+2p+t（{y}_{0}+\frac{2{p}^{2}}{{y}_{0}}）-\frac{p}{2}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$2\sqrt{2p}$$\sqrt{{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p}$，
则S_△ABE=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}（{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p）$$•2\sqrt{2p}$$\sqrt{{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p}$=$\sqrt{2p}$$（{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p）^{\frac{3}{2}}$≥4p²，当且仅当${x}_{0}=\frac{p}{2}$时取等号，
因此△ABE的面积存在最小值为4p²．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系及交点坐标、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．