Question

已知抛物线 y²=4

5

x 的焦点和双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且双曲线的离心率为 e=

5

2

，则双曲线的方程为（　　）

• A．

  x2

  4

  -y2 =1
• B．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• C．x2-

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1

Answer 1

分析：根据抛物线方程 y²=4

5

x，可得抛物线焦点坐标为（

5

，0）．再根据双曲线的离心率为e=

5

2

，结合c²=a²+b²，得到c=

5

2

a，b=

1

2

a，从而双曲线右焦点为（c，0）即（

5

2

a，0）．最后根据抛物线的焦点和双曲线一个焦点重合列式，解之得a=2，b=

1

2

a=1，得到该双曲线的方程．

解答：解：∵抛物线方程为 y²=4

5

x，
∴抛物线的2p=4

5

，可得抛物线焦点坐标为（

5

，0）
∵双曲线E的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），离心率为 e=

5

2

，
∴c²=a²+b²，且c=

5

2

a，可得b=

1

2

a
可得双曲线右焦点为（c，0）即（

5

2

a，0）
又∵抛物线的焦点和双曲线一个焦点重合，
∴

5

2

a=

5

，解之得a=2，b=

1

2

a=1
因此，该双曲线的方程为

x2

4

-y2 =1
故选A

点评：本题给出一个双曲线的焦点恰好与抛物线的焦点重合，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的简单几何性质，属于基础题．