Question

若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向圆x²+（y-2）²=8引一条切线，切点为Q．若存在定点M，恒有PM=PQ，则t的范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设M（m，n），P（x，x+t），由条件可得（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，?x∈R恒成立，可得

2m+2n-4=0 m2+n2-2nt+4t+4=0

，消去m，可得n²-（t+2）n+（2t+4）=0，由△≥0，求得t的范围．

解答： 解：设M（m，n），P（x，x+t），若恒有PM=PQ，
则有（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8，
即有（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，?x∈R恒成立，
∴

2m+2n-4=0 m2+n2-2nt+4t+4=0

，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0．
∴△=（t+2）²-4（2t+4）≥0，求得t∈（-∞，-2]∪[6，+∞），
故答案为：（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，函数的恒成立问题，属于基础题．