Question

求函数f（x）=2cos²x+5sinx-4（

π

6

≤x≤

π

3

）的最大值和最小值，并写出取最值时x的集合．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：利用同角三角函数的基本关系式化简函数f（x），通过x的范围求出sinx的范围，再利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值，从而求得最大值与最小值的和．

解答： 解：∵函数f（x）=2cos²x+5sinx-4=-2sin²x+5sinx-2
∵

π

6

≤x≤

π

3

，∴

1

2

≤sinx≤

3

2

，令t=sinx，
函数转化为：y=-2t²+5t-2，函数的开口向下，对称轴为：t=

5

4

＞

3

2

，
函数在

π

6

≤x≤

π

3

是增函数，
故当sin

π

3

=

3

2

时，函数取得最大值为

5 3 -7

2

；
当sin

π

6

=

1

2

时，函数取得最小值为：0，
故函数的最大值时x的集合为{

π

3

}；
函数取得最小值时的x的集合{

π

6

}．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二倍角的余弦公式，二次函数的性质，属于基本知识的考查．