Question

6．已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点P（1，1）处的切线方程；
（2）若f（x）在（0，e]是单调递增函数，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得和的单调区间．

解答 解：函数y=f（x）的定义域为x∈（0，+∞），$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$
（1）可见，切点为P（1，1），切线的斜率k=f'（1）=3，
∴切线方程为y-1=3（x-1），即：3x-y-2=0；
（2）由题知：$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}≥0$在（0，e]上恒成立，
∴$a≥-\frac{1}{{2{x^2}}}$在（0，e]上恒成立，
而x∈（0，e]时，$-\frac{1}{{2{x^2}}}≤-\frac{1}{{2{e^2}}}$，
∴$a≥-\frac{1}{{2{e^2}}}$．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．