Question

17．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}-ax+b}}{e^x}$经过点（0，3），且在该点处得切线与x轴平行
（1）求a，b的值；
（2）若x∈（t，t+1），其中t＞-2，讨论函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=3，可得b=3，求出导数，求得切线的斜率，可得a=-3；
（2）求出导数，对t讨论，①当-2＜t＜-1时，②当-1≤t＜0时，③当t≥0时，令导数大于0，得增区间；由导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+b}{{e}^{x}}$经过点（0，3），
∴b=3，∴f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+3}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2+a）x-a-3}{{e}^{x}}$，
由条件f′（0）=$\frac{-a-3}{{e}^{0}}$=-a-3=0，∴a=-3；
（2）由（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，导函数f′（x）=$\frac{-x（x+1）}{{e}^{x}}$，
①当-1＜t+1＜0，即-2＜t＜-1时，x∈（t，-1），f′（x）＜0，f（x）递减；
x∈（-1，t+1），f′（x）＞0，f（x）递增；
②当-1≤t＜0，时，x∈（t，0），f′（x）＞0，f（x）递增；
x∈（0，t+1），f′（x）＜0，f（x）递减；
③当t≥0时，x∈（t，t+1），f′（x）＜0，f（x）递减．
综上：①当-2＜t＜-1时，f（x）递减区间为（t，-1），递增区间为（-1，t+1）；
②当-1≤t＜0时，f（x）递减区间为（0，t+1），f（x）递增区间为（t，0）；
③当t≥0时，f（x）递减区间为（t，t+1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．