Question

2．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}+2x-a$，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求方程f（x）=0的解的个数．

Answer 1

分析 （I）利用f′（2）=0即可得出b，再解出f′（x）＞0即可得出其单调递增区间；
（Ⅱ）问题转化为求$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x=a的解的个数，令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x，求出g（x）的极大值和极小值，通过讨论a的范围求出方程的解的个数即可．

解答 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，∴f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴f′（x）=x²-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）求方程f（x）=0的解的个数即求$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x=a的解的个数，
令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x，g′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
令g′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴g（x）在（-∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，
∴g（x）_极大值=g（1）=$\frac{5}{6}$，g（x）_极小值=g（2）=$\frac{2}{3}$，
a＞$\frac{5}{6}$或0＜a＜$\frac{2}{3}$时，方程1个解，
a=$\frac{5}{6}$或$\frac{2}{3}$时，方程2个解，
$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{5}{6}$时，方程3个解．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，方程根的情况，是一道中档题．