Question

10．已知函数g（x）=aln x，f（x）=x³+x²+bx．
（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，得到关于b的不等式组，解出即可；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+x²+bx，得f′（x）=3x²+2x+b，
∵f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，
∴f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0
f′（x）=3${（x+\frac{1}{3}）}^{2}$+b-$\frac{1}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f′（x）}_{max}=16+b}\\{{f′（x）}_{min}=5+b}\end{array}\right.$，
∴-16＜b＜-5；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，即a≤（ $\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$）_min．     
令t（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，求导得，t′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

点评 该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．