Question

19．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对任意x∈（0，+∞），都满足f[f（x）-log₂x]=3，则函数y=f（x）-f′（x）-2（f′（x）为f（x）的导函数）的零点所在区间是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• C． （1，2）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2）．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{ln2•x}$，
将f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{ln2•x}$代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-$\frac{1}{ln2•x}$=2，
即log₂x-$\frac{1}{ln2•x}$=0，
令h（x）=log₂x-$\frac{1}{ln2•x}$，
分析易得h（1）=$\frac{1}{ln2}$＜0，h（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$＞0，
则h（x）的零点在（1，2）之间，
故选：C．

点评 本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．