Question

1．已知函数f（x）=ax³+bx²，当x=1时，f（x）取得的极值-3
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x＞0，不等式f（x）+2m²-m≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出a，b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为f（x）≥m-2m²对任意x＞0恒成立，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）由f′（x）=3ax²+2bx，…（1分）
当x=1时，f（x）的极值为-3，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（0）=0}\\{f（1）=-3}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴f（x）=6x³-9x²…（4分）
∴f′（x）=18x²-18x，
由f′（x）＞0得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和 （1，+∞），单调递减区间是（0，1）…（7分）
（2）f（x）+2m²-m≥0对任意x＞0恒成立，
即f（x）≥m-2m²对任意x＞0恒成立，
即${f_{min}}（x）≥m-2{m^2}$．…（9分）
由（1）知当x=1，f_min（x）=f（1）=-3…（10分）
∴-3≥m-2m²，即2m²-c-3≥0，
∴m≤-1或$m≥\frac{3}{2}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．