Question

20．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．
（1）若直线y=kx-1与曲线y=f（x）相切于点（1，0），求a，k的值
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出k的值，求出f（x）的导数，得到f′（1）=a=k=1；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）直线y=kx-1与曲线y=f（x）相切于点（1，0），
将x=1，y=0代入y=kx-1解得：k=1，
∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，
∴f′（1）=a=k=1，
故a=k=1；
（2）f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，a＞0，x≠0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2且，令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）递减，在（0，2）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及曲线的切线方程问题，是一道中档题．