Question

9．已知F₁，F₂为等轴双曲线C的焦点，点P在C上，|PF_l|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，根据双曲线的定义，设|PF₁|=2|PF₂|=2m，利用余弦定理，即可求cos∠F₁PF₂的值．

解答 解：由题意可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
设|PF₁|=2|PF₂|=2m，
则根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，
可得m=2a，
即为|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，又双曲线C为等轴双曲线，
|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$a，
由余弦定理，可得cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{16{a}^{2}+4{a}^{2}-8{a}^{2}}{2•4a•2a}$=$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．