Question

【题目】如图，三棱柱中，，底面，分别是棱，，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，通过求证四边形为平行四边形，得出，再通过中位线关系求证，说明，四点共面，即可求证；

（2）通过作交于点，求证为点到平面的距离即可，再结合几何关系求解；也可通过转化法，利用（1）的结论，点到平面的距离等于点到平面的距离，再结合等体积法即可求解；

（1）法一：连，分别是棱的中点，.

又在三棱柱中，，，，四点共面.

分别是棱的中点，∴四边形为平行四边形，.

又平面，平面，平面.

法二：

取中点，连接、.分别是棱的中点，

，.在三棱柱中，，，

又平面，平面，平面.

，，∴四边形为平行四边形，.

又平面，平面，平面.

，且平面，平面，∴平面平面，

又平面，平面.

（2）法一：

底面，，平面，又，

平面，

又平面，∴平面平面，平面平面.

过点作于，则平面，即为所求点到平面的距离.

在中，.

法二：由（1）知平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

由得，得.

故点到平面的距离为.