Question

10．已知函数f（x）=ln（x+1）-x²-x．
（1）求函数的单调性；
（2）若关于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间[0，2]上恰好有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若对于不等式f（x）≤f（2x）+3x²+x-m²+3am+4对于任意a∈[-1，1]，x∈[0，1]恒成立．求m的取值1范围．

Answer 1

分析 （1）首先写出这个函数的定义域，然后再求出f（x）的导数，解不等式求单调区间．
（2）求解方程的实根问题可以转化为函数的零点或图象的交点问题．
（3）根据不等式恒成立的条件的理解利用最值进行求解．

解答 解：（1）由题意得x＞-1，$f′（x）=\frac{1}{x+1}-2x-1=\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，令f′（x）＞0得-1＜x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，所以f（x）在（-1，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（2）由f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b得$ln（x+1）-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-b=0$，令φ（x）=$ln（x+1）-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-b$，f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间[0，2]上恰好有两个不同的实数根，等价于φ（x）=0在区间[0，2]上恰好有两个不同的实数根，φ′（x）=$\frac{1}{x+1}-2x+\frac{3}{2}=-\frac{（x-1）（4x+5）}{2（x+1）}$，当x∈[0，1]时φ′（x）＞0，于是φ（x）在∈[0，1]上单调递增；
当x∈[1，2]时φ′（x）＜0，于是φ（x）在∈[0，1]上单调递减．依题意有$\left\{\begin{array}{l}{φ（0）=-b≤0}\\{φ（1）=ln2-1+\frac{3}{2}-b＞0}\\{φ（2）=ln3-4+3-b≤0}\end{array}\right.$，解得ln3-1≤b＜ln2+$\frac{1}{2}$．
（3）依题意有${m}^{2}-3am-4≤ln\frac{2x+1}{x+1}$，所以x∈[0，1]时$ln\frac{2x+1}{x+1}$最小值是ln1=0，所以m²-3am-4≤0 对于任意a∈[-1，1]，恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3m-4≤0}\\{{m}^{2}+3m-4≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤m≤1．

点评 可以将方程的实数根转化为函数的零点或图象的交点问题，求解参数的取值范围可以利用分离法．